Derivadas Exponenciales y Logarítmica

Derivadas Exponencial y Logarítmica

Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas. Los aprendizajes que debes obtener al terminar de estudiar esta sección son: ✓ Analizar las gráficas de las funciones logarítmica y exponencial y a partir de ellas bosqueja las gráficas de sus derivadas. ✓ Identificar en cada caso la derivada respectiva de las funciones logarítmica y exponencial. ✓ Utilizar la regla de la cadena para derivar funciones logarítmica y exponencial cuyo argumento es función de x. ✓ Aplicar las derivadas de funciones logarítmica y exponencial a problemas diversos. Definición. Una función exponencial es una función que tiene la forma: f(x) = bx , en donde la base b es una constante positiva, x ∈ R y f(x) es positiva. A continuación trabajaremos con ejemplos de funciones exponenciales y presentaremos las gráficas de las funciones: f(x) = 2X , f(x) = 3X , f(x) = 4X y f(x) = 5X . ¿Cuál es la gráfica de cada función? Para contestar la pregunta debemos de considerar el comportamiento que tiene cada una de las funciones con respecto de las otras. ✓ Todas la funciones exponenciales deben pasar por el punto (0,1), ¿por qué? ✓ ¿Cuál es la función que crece más rápidamente? La función f(x) = 5X , debido a que conforme x va aumentando sus valores van siendo mayores que los de las otras tres funciones. Página 2 de 7 Es así como la gráfica de la función, que para valores mayores que cero, está por encima del resto es la de f(x) = 5X . La gráfica que está más abajo es la de f(x) = 4X , luego f(x) = 3X y finalmente la de f(x) = 2X . Observa que no ocurre lo mismo cuando x es negativa, a la izquierda del cero, la situación es diferente. Lo anterior ocurre porque, por ejemplo, cuando x = -2, las funciones: f(x) = 2X , f(x) = 3 X , f(x) = 4X y f(x) = 5 X , tomarán los siguientes valores: conforme x va disminuyendo, las funciones exponenciales cuya base es de un valor mayor, disminuyen más rápidamente con respecto a las que tienen una base menor. Te aconsejamos que recuerdes las siguientes leyes de los exponentes: De las funciones exponenciales la más importante, sin duda, se da cuando b = e. El número e se ha encontrado como una constante que aparece en la naturaleza en diversos problemas de crecimiento exponencial. A dicho número se le asignó la letra e en honor al matemático Leonardo Euler, quien calculó el número con 23 decimales correctos (en una época en la que no existían las calculadoras) obteniendo el siguiente resultado: e = 2.71828182845904523536028... El número e se encuentra cuando se determina el siguiente límite: Con el fin de que encuentres una aproximación del número e, realiza la siguiente tabulación: Página 3 de 7 La función logaritmo como inversa de la exponencial. Ahora trazaremos una gráfica simétrica a la función f(x) = eX con respecto a la recta y = x. Para hacerlo utilizaremos las gráficas de f(x) = x, y de f(x) = eX , así como la tabulación de esta última: El punto simétrico al punto (0,1) es el punto (1,0); el de (1,e) es (e,1); el de (-1,1/e) es (1/e,-1); el de (-2,1/e2 ) es (1/e2 ,-2); y el de (-3,1/e3 ) es (1/e3 ,-3). ¿Cuál es el punto simétrico de (3,e3 )? Basándonos en los puntos que hemos encontrado hemos trazado la gráfica. La función correspondiente a la gráfica encontrada es f(x) = ln(x). De la gráfica de ln(x) podemos determinar lo siguiente: 1) ln(1) = 0. 2) El dominio de ln(x) es R + y su rango R 3) ln(e) = 1. 4) eln(1) = 1 5) lneu= u 6) elnu = u

https://youtu.be/ILFyIiTk2vY?si=BnFynNr903-1WQTh

Bibliografía

(S/f). Recuperado el 20 de julio de 2024, de http://file:///C:/Users/usuario/Downloads/2ae4469d47051b734730d78da8cdb851.pdf