Continuidad de una función

 Continuidad de una función 

Se dice que una función f(x) es continua en el punto x=a si y solo se cumple las tres condiciones.

1.-El punto x=a tenga imagen 

2.- Que existan el limite de la función en el punto x=a

3.-Que la imagen en le punto coincida con el limite de la función en el punto.

El dominio de una función son los valores de x para los que existen f(x) y la imagen es el rango de los valores de f(x) para los que existe un valor en x.

Continuidad De Funciones

Intuitivamente, es fácil captar el concepto de continuidad. En términos sencillos, puede decirse que una función real de variable real es continua en un intervalo cuando se puede dibujar sobre el papel a lo largo de dicho intervalo sin levantar el lápiz. La descripción matemática de esta idea intuitiva recurre al uso de la noción de límite.

Continuidad de una función

Se dice que una función f(x) es continua en un punto a, si y sólo, si se verifican las condiciones siguientes:

  • La función existe en a.
  • Existe límite de f(x) cuando x tiende a a.
  • El valor de la función en el punto y el límite en dicho punto son iguales:

Cuando no se cumple alguna de las anteriores condiciones, se dice que la función es discontinua en el punto.

Por otra parte, se considera que la función es continua en un intervalo (a, b) cuando es continua en todo punto x, tal que a < x < b.

Ejemplo de función continua.

La función de la figura es discontinua en el punto x = 1.

Funciones continuas

Para algunas familias de funciones es posible conocer su continuidad basándose en los siguientes criterios generales:

  • Las funciones polinómicas son continuas en todo el conjunto de los números reales.
  • Las funciones racionales obtenidas como cociente de dos polinomios son continuas en todos los puntos del conjunto R, salvo en aquellos en los que se anula el denominador.
  • Las funciones potenciales, exponenciales y logarítmicas son continuas en todo su dominio de definición.
  • Las funciones trigonométricas seno y coseno son continuas en todo el conjunto de los números reales (en cambio, la función tangente es discontinua en los valores múltiplos impares de p/2).

Propiedades de las funciones continuas

Dadas dos funciones f(x) y g(x) continuas en un punto o en un intervalo, se cumple entonces que:

  • La suma y la resta de ambas es una función continua en ese punto o intervalo.
  • El producto de las dos funciones es una función continua en ese punto o intervalo.
  • El cociente entre ambas funciones es una función continua en ese punto o intervalo salvo en aquellos en los que el denominador se anula.
  • Si f(x) es continua en a y g(x) es continua en f(a), entonces la composición de funciones (g ° f) (x) es también continua en a. 





https://youtu.be/ZEAPl6VN4JU?t=289

https://www.hiru.eus/es/matematicas/continuidad-de-funciones

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